村人と人狼のみのシミュレーション

人狼

村人と人狼のみの「汝は人狼なりや？」ゲームとして面白いかは別にして、数学の問題としては大学受験に取り上げても良いレベルと言えよう。電卓はあった方が良いけど。

さて。本題。確率P(m,n)を定義する。

  • P(m,n)はある昼フェイズの時点での狼の勝率を示す。
  • mは狼の数
  • nは昼フェイズの人数
  • 2m>=nならP(m,n)=1
  • P(2,4)=1
  • P(2,5)=3/5 + 2/5*2/3
  • P(1,n)=n-1/n * P(1,n-2)
  • P(m,n)=m/n*P(m-1,n-2) + n-m/n*P(m,m-2)

となる。最後の漸化式をつくれるかどうかが問題。一般式を求めるのは可能かも知れないがやる気がおきないので、表計算ソフトに放り込む。



　　　　1　　　　　2　　　　　3　　　　　4　　　　　5

01　　　0.000　　　1.000　　　1.000　　　1.000　　　1.000

02　　　1.000　　　1.000　　　1.000　　　1.000　　　1.000

03　　　0.667　　　1.000　　　1.000　　　1.000　　　1.000

04　　　0.750　　　1.000　　　1.000　　　1.000　　　1.000

05　　　0.533　　　0.867　　　1.000　　　1.000　　　1.000

06　　　0.625　　　0.917　　　1.000　　　1.000　　　1.000

07　　　0.457　　　0.771　　　0.943　　　1.000　　　1.000

08　　　0.547　　　0.844　　　0.969　　　1.000　　　1.000

09　　　0.406　　　0.702　　　0.886　　　0.975　　　1.000

10　　　0.492　　　0.784　　　0.931　　　0.988　　　1.000

11　　　0.369　　　0.648　　　0.835　　　0.942　　　0.988

12　　　0.451　　　0.736　　　0.895　　　0.969　　　0.995

13　　　0.341　　　0.605　　　0.792　　　0.909　　　0.971

14　　　0.419　　　0.695　　　0.860　　　0.948　　　0.985

15　　　0.318　　　0.570　　　0.755　　　0.878　　　0.950

16　　　0.393　　　0.661　　　0.829　　　0.926　　　0.974

17　　　0.300　　　0.540　　　0.722　　　0.849　　　0.929

18　　　0.371　　　0.631　　　0.801　　　0.904　　　0.960

19　　　0.284　　　0.515　　　0.693　　　0.822　　　0.908

20　　　0.352　　　0.605　　　0.776　　　0.884　　　0.946

21　　　0.270　　　0.493　　　0.668　　　0.798　　　0.888

22　　　0.336　　　0.582　　　0.752　　　0.864　　　0.932

縦が総人数、横が人狼の数。21人、人狼一人でも野球の打率なみに勝率あるのか。もっと劇的に減少するのかと思った。そして偶奇の差はなかなか大きい。１割近く違う。

さて。P(1,n)は0に収束していく訳だが、P(1,n)が1割を切るのはnがいくつの時点だろうか？　奇数人数でn=157、偶数だとn=256人！　これは驚いた。

って本当に0に収束するのかな→２ちゃんねる数学板で質問したら即答。0に収束します。(2004/01/02)



Sn=2/3 * 4/5 * …… * 2n/2n+1

Tn=3/4 * 5/6 * …… * 2n+1/2n+2

0≦Sn*Sn≦SnTn＝1/n+1

で、はさみうちの原理によりSn→0、同じロジックでTn→0です。ありがとう名無しさん！

ところでこれ、大学受験レベルで出せるギリギリかなあ。